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判断二分图

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Problem

给定一个无向图，判断这个图是否二分图。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集A和B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合，一个来自B集合，我们就将这个图称为二分图。

graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i]中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。

Example

示例 1:
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
输出: true
解释: 
无向图如下:
0----1
|    |
|    |
3----2
我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}

示例 2:
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
输出: false
解释: 
无向图如下:
0----1
| \  |
|  \ |
3----2
我们不能将节点分割成两个独立的子集。

Hints

  • graph 的长度范围为 [1, 100]。
  • graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
  • graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
  • 图是无向的: 如果j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。

Solution

问题核心为如何判断一个图为二分图，似乎是在离散数学里面学过相关知识，但已经早已忘却。与二分图相关的资料可看维基百科。

我们可以通过二分图测试，在线性时间内判断一个图是否二分图。具体思路为：深度优先进行图遍历，在遍历的过程中对图进行二染色，即给相邻节点染上不同的颜色，当发现二染色时后有相邻节点颜色相同，即可判断不是二分图。

详细步骤

  1. 初始化染色数组。染色数组包含三种状态：未染色（-1），0，1。
  2. 每一个节点深度遍历。若该节点未染色则进行染色，递归地对相邻节点进行染色，当发现相邻节点染色与当前节点相同，返回false

完整代码

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class Solution {
public:
    bool dfs(vector<vector<int>>& graph,vector<int> &colors,int i){
        int color = colors[i]==-1?0:colors[i];
            // if(colors[i]==-1)
        auto adjs = graph[i];

        colors[i]=color;
        bool ans;
        for(auto j=0;j<adjs.size();j++){
            if(colors[adjs[j]]==color) return false;
            else if(colors[adjs[j]]==-1) {
                colors[adjs[j]]=1-color;
                if(!dfs(graph,colors,adjs[j])) return false;
            }
        }    
        return true;
    }
    
    bool isBipartite(vector<vector<int>>& graph) {
        int n=graph.size();
        vector<int> colors (n,-1);
        for(auto i=0;i<n;i++){
            if(!dfs(graph,colors,i)) return false;
            
        }
        return true;
    }
};

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